Le calcul mental en 6ème – semaine 33
Dernière ligne droite de cette année scolaire : au programme, séries de calcul mental, point sur les bilans individuels à l’issue du concours Mathador et lancés de dés !
Retour sur les séries de calcul mental
Le travail sur le sens des opérations est un long chemin, une quête permanente du sens. La série 31 a donné plusieurs occasions de travailler ce sens. « 1000 – 0,1 » a permis de faire un point sur la numération, la position de chaque chiffre et la relation les chiffres voisins. La puissance de cette numération de position fait qu’on a tendance à oublier les liens entre chaque chiffre voisin, un petit rappel de temps en temps n’est pas du luxe !
Le produit « 2,5 x 8,4 » est un exemple de calcul mental très intéressant. Les différentes réponses mettent bien en évidence ceux qui raisonnent sur la globalité des nombres présents, l’intérêt du calcul mental et ceux qui sont encore dans une vision locale des chiffres qui composent les nombres. Cette seconde approche ne fonctionne pas sur l’exemple « 2,5 x 8,4 » et s’appuient sur des analogies des pratiques des techniques opératoires. La réponse 16,20 est proposée, c’est tentant… En l’absence de sens solide du nombre décimal d’effectuer « 2 x 8 » et « 4 x 5 » en regroupant les nombres de part et d’autre de la virgule. En plus, c’est basé sur la technique posée de l’addition et de la soustraction. J’ai également entendu 18. Dans ce cas, l’élève se souvient que le « 4 x 5 = 20 » n’a pas le statut que que le « 2 x 8 ». Pour ces élèves, la route du sens est encore sinueuse. Les explications des élèves qui ont trouvé la réponse sont alors très importantes. Une remarque importante pour faire sentir que 16,20 ou 18 ne peuvent convenir, est d’aborder la notion d’ordre de grandeur du résultat avec l’analyse suivante : « 2 x 8,4 » est autour de « 16 – 17 » et « 3 x 8,4 » est autour de « 24 – 25 » donc le produit de 2,5 qui est à la moitié entre 2 et 3 devrait se situer à mi-chemin entre 17 et 25.
Pour effectuer mentalement ce type de calcul, l’importance de rester dans la globalité des nombres en présence est essentielle. C’est là toute la force du calcul mental à la différence des techniques posées écrites qui font calculer sur les chiffres qui composent les nombres et qui éloignent du sens des nombres en présence.
Deux approches intéressantes sont proposées dans la classe. Il y a tout d’abord ceux qui raisonnent « en paquet » : Les calculs se détaillent de la façon suivante : 2 paquets de 8,4 qui donnent 16,8 puis la moitié d’un paquet pour le 0,5 qui donne 4,2. La somme donne alors 21. La particularité et l’intérêt de cette approche est de traiter le calcul par une distributivité simple, mentalement gérable
« (2+0,5) x 8,4 ». Initialement le calcul est une distributivité double « (2+0,5)x(8+0,4) », difficile à gérer mentalement et complexe en terme de sens pour un élève de 12 ans.
Une autre stratégie intéressante est basée sur la reconnaissance de 2,5 comme du quart de 10. Il suffit alors de multiplier 8,4 par 10 puis de diviser le résultat 84 par 4. La moitié de 84 puis sa moitié donne assez rapidement 21. Pour ces deux approches, ce sont des élèves qui ont expliqué les chemins choisis. Ces moments de verbalisation sont très importants, à la fois pour celui qui explique ces choix mais aussi et surtout pour tous ceux qui sont encore en construction et en consolidation du sens du nombre et des opérations.
Toujours en lien avec le sens et la globalité du nombre, pour effectuer « 925 : 25 » , il est intéressant d’aborder la division comme l’opération contraire de la multiplication. Quelques repères automatisés comme 4×25=100 combinés à une recherche par tâtonnement du nombre de paquets de 25 dans 925 permettent d’aboutir assez rapidement à 37. Quelques élèves sont tentés de poser mentalement la division dans leur tête à la façon technique écrite posée. C’est mentalement difficile et trop technique.
Dans ce travail permanent sur le sens, une dimension est essentielle : la notion d’ordre de grandeur. Alors que le travail demandé en mathématiques à un élèves se termine souvent par la demande d’un résultat exact, on a tendance à oublier que la plupart du temps, dans des situations de la vie courante, c’est plutôt un résultat approximatif qui est recherché : estimation du total de mes courses, d’un pourcentage, d’une réduction, de la surface d’un plafond…
D’où l’importance de pratiquer en classe le calcul approché et de proposer des techniques. L’exemple « 9,97 x 60,3 » de la série 32 illustre parfaitement cette problématique. L’idée de choisir deux nombres proches et simples des deux nombres initiaux comme 10 et 60 n’est pas une technique naturelle pour l’élève. Encore une fois, la régularité et la répétition de ce type de situation va permettre d’installer cette stratégie. Il est toujours intéressant ensuite de comparer le résultat approché avec le résultat exact afin d’avoir une évaluation de la pertinence des choix.
Concours Mathador : le bilan individuel
Nous sommes rentré dans la dernière ligne droite de cette année scolaire. Le concours Mathador s’est terminé il y a quelques semaines. Après le bilan de la classe, je présente à chaque élève son bilan personnel des 13 tirages annuels. Il est important pour chacun de bien prendre conscience de ses forces et de ses faiblesses. Evidemment, cette présentation est individuelle mais il est intéressant de constater que tous les élèves sont intéressés pour découvrir leurs statistiques, les élèves en difficultés également. C’est l’occasion lors de leur passage devant mon écran et d’un échange bref autour de leurs résultats de leur proposer le diplôme individuel du concours !
De façon à entretenir la gymnastique régulière des neurones mise en place avec les diaporamas, le concours, la fréquentation de la salle multimédia… les dés roulent plus souvent en cette fin d’année : l’engouement est toujours présent, ces dés sont vraiment magiques !
