Faire vivre le calcul mental en classe #7

Après plus de six mois de pratiques diverses de calcul mental, le sens du nombre et des opérations commence à s’installer de façon plus solide chez les élèves… Et quelques cas de « supercalculateurs » se dégagent !

Retour sur le calcul mental réfléchi dans les diapos 27 et 28

Le diaporama 27 à l’oral exclusivement propose les quatre calculs suivants :

2,64 + 1,36 / 15,98 – 5,99 / 1,5×8 et 143:13

Peu d’erreurs sur l’addition et la soustraction, le 9,99 est bien géré avec des explications mettant en avant la décomposition de 0,99 en 0,98 + 0,01 de façon à retirer  les 99 centièmes en deux étapes. Quelques élèves proposent d’effectuer l’opération avec 1598 et 599 puis de placer la virgule après. Les échanges sont encore plus riches pour la multiplication et la division. Pour 1,5 x 8, je dénombre quatre propositions différentes et bien expliquées :

– 1 paquet de 8 et un demi paquet de 8 donc 4 et ça fait 12 avec même un élève qui ajoute : 1 fois 8, c’est 8 et 2 fois 8, c’est 16 donc 1,5 x 8, c’est au milieu de 8 et 16, donc c’est 12. Très sympa !

– sans la virgule, 15×8 = 120 puis une division par 10 qui donne 12

– quelques élèves ont pensé à décomposer 8 en 2×4 et proposent : je sais que 4 paquets de 1,5 font 6 et je multiplie par 2 donc 12 ou en commençant par 2 paquets de 1,5 qui  font 3 puis 4×3 donne 12.

– et enfin, un élève propose de faire 1,5×10 puis de retrancher au résultat 15, 2 paquets de 1,5 soit 3, ce qui donne 12.

Pour la division de 143 : 13, l’habitude de procéder à l’envers avec des multiplications de 13 en tâtonnement raisonné est désormais bien installée et assez bien maîtrisée. La plupart passe par 13 x 10 = 130 puis ajoute 13 et trouve la réponse 11.

Ces échanges passionnants traduisent globalement une bonne installation mentale du sens des quatre opérations. La diversité des procédures proposées suscitent chez certains l’envie de pousser la réflexion le plus loin possible de façon à chercher des procédures originales, on est pas très loin d’une forme de jubilation mentale.  

Cette aisance mentale se traduit lors de la dernière diapo de cette série 27 avec la traditionnelle grille Trio :

La quasi totalité des élèves trouvent une solution à ce 42. Il est vrai que les 5×8+2 ne manquent pas. J’entends aussi 5×9-3 et (3+3)x7 ainsi que (4+3)x6. Je vous laisse chercher (8-1)x6 que je n’ai pas entendu mais qui est bien dans la grille !

Dans le diaporama 28 à l’écrit, une diapo a suscité de nombreux échanges : le calcul de 24×25. Le caractère ouvert de ce calcul s’est traduit par quatre propositions différentes :

– utilisation de la distributivité avec des paquets de 10 : 10×25 + 10×25 + 4×25

– utilisation de la distributivité en passant par 20×25 + 4×25. Pour cette proposition, il faut évidemment avoir automatisé 20×25

– quelques élèves, peu nombreux, ont utilisé une décomposition multiplicative de 24 en 6×4, qui est dans ce cas très performante. Le 24×25 devient un 6x4x25 donc 6×100

– un élève a proposé (100×24):4. Ce chemin également performant pour 24×25 transforme 25 en le quart de 100 et rend plus accessible le calcul par une composition de 25. C’est original dans la mesure où les pratiques habituelles sont plutôt axées sur les décompositions.

Les diaporamas 27 et 28 sont en lien dans ce billet. Mais vous les retrouvez ainsi que de nombreux autres diaporamas sur le site de l’APMEP. Ils sont en téléchargement libre et à votre disposition. N’hésitez pas !

Le phénomène des supercalculateurs

Le phénomène se répète depuis une dizaine d’années : dans chacune de mes classes de 6°, après environ 6 mois de gymnastique régulière de calcul mental sous diverses formes (diaporamas, utilisation des jeux Trio et Mathador, participation au concours Mathador, résolution de petits problèmes à l’oral sans passage par l’écrit), 3 ou 4 élèves de chaque classe développent des compétences en calcul mental que l’on peut qualifier d’extraordinaires dans la vitesse d’exécution. C’est encore confirmé cette année avec quatre élèves de 6°. Mon repère principal étant le fait d’être dépassé très largement par ces élèves. Je ne me considère en aucun cas comme une référence mais plutôt comme un point fixe que ces élèves atteignent après 4 ou 5 mois de gymnastique mentale puis ensuite dépassent ! C’est un moment que j’apprécie particulièrement la période où l’élève atteint puis dépasse son maître.

Ce phénomène se reproduisant chaque année désormais, on peut identifier quelques paramètres communs :

Cette vitesse d’exécution se manifeste principalement en calcul mental à l’envers dans la rapidité pour trouver des solutions à Trio et Mathador par exemple. Ces élèves atteignent ou dépassent 300 points en une partie de Mathador Chrono. Ce seuil de 300 points est inaccessible pour un calculateur normal ou même bon. Les scores réalisés à Mathador Chrono peuvent servir d’instrument de mesure en calcul mental à l’envers : vous retrouverez des informations plus détaillées dans ce billet du blog. Ces élèves ( environ 10 % ) ont une vitesse d’exécution tellement rapide que, très souvent, l’élève concerné n’est pas toujours capable d’expliquer son cheminement. C’est un peu comme si l’inconscient avait pris le dessus sur le conscient. Hypothèse : la répétition et la régularité de la gymnastique mentale pratiquée depuis 6 mois ont crée des réseaux de connexion dans le cerveau et ont permis la constitution d’un répertoire développé et une stabilisation d’automatismes de type décomposition. Par exemple, ces élèves ont commencé à automatiser des résultats des tables de 11 à 19 sans effort de mémorisation pure. C’est juste la répétition de situations ludiques qui en est la cause.

Ces élèves ont une vitesse d’exécution tellement rapide que, très souvent, l’élève concerné n’est pas toujours capable d’expliquer son cheminement.

Je constate une très forte accentuation de ce phénomène depuis l’apparition des outils numériques. Mon hypothèse est que le numérique est un facilitateur de travail répétitif, ce travail de gammes indispensable pour construire un répertoire d’automatismes comme en musique et en sport. Avec la dynamique du numérique, les situations s’enchaînent à un rythme plus soutenu que dans des situations classiques, à l’image de la machine à envoyer les balles pour un joueur de tennis qui travaillent régularité et répétition.

Autre paramètre commun, ces élèves ont tous une attirance forte pour les nombres et le calcul et en général, ils jouent aussi beaucoup chez eux. Cela met d’ailleurs en lumière un autre point fort du numérique, la possibilité pour l’élève de prolonger à la maison. C’est particulièrement intéressant pour le travail de gammes qui demande de la répétition avec, en plus, l’atout de rendre attractif ce travail répétitif qui est souvent considéré comme rébarbatif.

Pour tous ces élèves, cette aisance installe davantage de confiance en soi et parfois un enthousiasme communicatif pour les mathématiques. De plus, on constate très souvent un prolongement avec des progrès en résolution de problème, l’aisance en calcul mental diffuse du ressenti en sens des opérations.

Ce travail en parallèle du calcul mental à l’endroit et du calcul mental à l’envers semble créer une sorte de cercle vertueux et cette gymnastique régulière avec de la répétition libère ou crée des capacités étonnantes, un véritable dégrippant de cerveau !

Bon jeu à tous !