Le calcul mental : de quoi parle-t-on ?

Après avoir découvert l’univers des entiers, l’enfant découvre dans son parcours scolaire les autres familles de nombres, les décimaux et les fractions. Les nombres entiers, prolongement des quantités, sont en lien direct avec l’univers familier de l’enfant. Ce lien est déjà plus lointain pour les fractions et les décimaux.

Parallèlement à cette découverte des nombres, les opérations se mettent progressivement en place. L’addition et la soustraction pour commencer puis la multiplication et plus tard la division. Ces lois de compositions internes, suivant l’ensemble de nombres dans lequel on travaille, sont des machines à transformer les nombres.

Il est très important d’installer une bonne relation solide avec ces nombres entiers et les 4 opérations de façon à développer de l’aisance et de la fluidité mentale. Elle sera très utile pour la mise en place des fractions décimales, puis des décimaux et enfin de toutes les fractions.

Singularité de l’opération arithmétique

L’opération arithmétique transforme deux nombres en un nouveau nombre, ces deux nombres s’effacent derrière la somme, la différence, le produit ou le quotient. La question profonde du sens du nombre et des opérations prend racine dans ces mécanismes.

Ces premières perceptions et constructions autour des nombres et des opérations sont mentales. C’est là, que se forge le sens du nombre, cette relation intime que chacun d’entre nous se fabrique.

Les nombres sont partout !

Ils sont partout ces nombres et le calcul mental est désormais clairement identifié comme une des clés de la réussite future en mathématiques. Dans les grandeurs et les mesures, en statistiques et probabilité, en algèbre avec les équations, en analyse avec les fonctions et même en géométrie.

A y regarder de près, peu de domaines mathématiques scolaires échappent aux nombres. Même les grands théorèmes géométriques du collège « Pythagore » et « Thalès » sont numériques. Ils peuvent être abordés et traités exclusivement géométriquement avec les aires des carrés associés pour Pythagore et un raisonnement basé sur des décompositions de triangles pour Thalès mais en pratique, ces deux théorèmes sont souvent couramment traités de façon numérique. En effet, le théorème de Pythagore est associé au concept de puissance et celui de Thalès au concept de proportionnalité.

Le calcul mental pour développer la fluidité mentale, mais comment ?

Dans l’enseignement du calcul et dans les pratiques de classe du calcul mental, depuis des générations, une grande place est consacrée aux activités de type Lamartinière. Le maître annonce une opération les élèves cherchent puis écrivent leur réponse sur l’ardoise. Après un bref contrôle collectif des ardoises, on continue avec une autre opération, etc… En résumé, une opération, un résultat et ça s’enchaîne. Ce type d’activité est nécessaire, elle correspond d’ailleurs à la plupart des situations de la vie courante en calcul mental, il ne faut pas se limiter à ce type d’activités. Il faudrait régulièrement faire verbaliser les procédures utilisées par les élèves, de façon à entendre, et parfois découvrir de nouveaux chemins. Celui qui explicite, met en fait un haut-parleur sur sa pensée et en fait bénéficier à toute la classe.

C’est dans ces moments que l’on entend le fameux « Ah ouiiiii » qui signifie, j’avais trouvé d’une certaine façon mais je viens d’entendre une nouvelle procédure, peut-être bien meilleure que la mienne !

Mais le problème majeur de la pratique type Lamartinière est de binariser la relation aux nombres et aux opérations et peut même installer l’idée fausse du chemin unique pour toute opération, puisqu’il n’y a qu’une réponse ! Il n’y a que la verbalisation qui permet d’ouvrir le raisonnement. Il y a aussi les pratiques de type calcul à l’envers. Sous forme de jeux, ce sont les jeux de la famille « Compte est bon » comme Shut the box, Trio et Mathador. Ces jeux obligent l’élève à faire des choix de nombres et d’opérations pour fabriquer le nombre-cible. On sort alors du schéma classique « Une opération, un résultat ». Cela « casse » la binarité car il y a souvent plusieurs chemins qui permettent de fabriquer le nombre-cible.

Un rituel très simple peut permettre de pratiquer le calcul mental à l’envers dans la classe : il suffit de proposer un nombre-cible à sa classe et de demander à chacun en utilisant l’ardoise de le décomposer sous forme additive et soustractive pour commencer au cycle 2 puis progressivement y associer la multiplication et la division. La taille du nombre-cible est la variable d’ajustement principal. Au CP ou CE1, un élève qui propose 15+3 et 20-2 au nombre-cible annoncé 18, rentre dans la décomposition des nombres et enrichit son répertoire. De même pour un élève de cycle 3 qui répondrait 40+2 ; 50-8 ; 2×21 et 84:2 pour le nombre 42. Il est important, après le moment de recherche et d’écriture sur l’ardoise, de faire verbaliser par les élèves quelques décompositions. Par exemple, 3 ou 4 décompositions différentes par opération, de façon à enrichir le répertoire de chacun.

Cette activité très simple et non chronophage peut devenir un rituel quelquefois par semaine. Elle permet à chacun par la verbalisation et l’écoute de créer de nouvelles liaisons entre les nombres avec les opérations. Cette gymnastique pratiquée régulièrement, aussi avec des jeux de type « Compte est bon », va permettre dans la durée à chacun de développer et d’enrichir son répertoire mental de nombres et d’opérations. C’est la richesse de ce répertoire qui, avec le temps, va constituer une sorte de caisse à outils pour la résolution de problèmes.

…et pour la vie courante !

L’aisance en calcul mental est un atout mathématique pour l’élève mais aussi pour le futur citoyen, il donne de l’assurance dans la fréquentation avec les nombres et les opérations : le ressenti, l’estimation d’un ordre de grandeur, l’interaction entre les nombres, les multiples décompositions d’un nombre, en fait la relation personnelle que chacun d’entre nous construit avec ces êtres numériques.

Les manques éventuels dans ces domaines, accentués par l’utilisation de tous les outils qui calculent à notre place (calculatrices, smartphones, ordinateurs, …), sont les bases de l’innumérisme, fléau grandissant dans nos sociétés occidentales qui ne pratiquent pas encore assez le mental à l’école.

D’où l’importance vitale de dompter et de maîtriser ces êtres numériques !