Calcul mental : comment évaluer un prix, un pourcentage…

Notre relation aux nombres est d’abord mentale. Dans la vie courante, il est fréquent de se retrouver dans une situation d’évaluation d’un prix, d’une surface, d’un pourcentage. Comment le cerveau gère-t-il cette situation ?

Il s’agit d’une situation de calcul mental direct qui se définit par une ou des opérations et un résultat à trouver. Pour atteindre ce résultat attendu, qui peut être exact ou approché, chacun dispose de ses connaissances automatisées et de ses connaissances numériques et opératoires qui lui permettent de pratiquer du calcul mental réfléchi. Même si le résultat est aproché, cela reste malgré tout du calcul exact avec un changement d’échelle.

Comment fonctionne notre cerveau pour ces calculs ?

Par exemple, pour l’évaluation approximative d’une somme de 3 prix, je n’additionne mentalement que les centaines et les dizaines et je fais disparaître les unités, les dixièmes et les centièmes. Ces deux parties, automatisée et réfléchie, forment une partition personnelle qui définit pour chacun d’entre nous nos capacités en calcul mental.

Cette partition est évolutive puisque la partie automatisée est en construction dès les premières années de la vie. Elle s’enrichit au fur et à mesure du parcours scolaire, elle est aussi  fonction de la régularité et de l’intensité de notre relation avec les nombres. Cette partition est donc variable d’un individu à l’autre.

La relation aux nombres se fait dans le temps

Ce caractère évolutif s’explique très bien par le fait que le calcul mental réfléchi du cycle 1 va en partie devenir du calcul mental automatisé au cycle 2, puis le calcul mental réfléchi du cycle 2 va en partie devenir du calcul mental automatisé au cycle 3 etc.

Un cercle vertueux peut s’installer car les deux types de calcul mental vont se nourrir l’un de l’autre : une pratique régulière du calcul mental réfléchi permet de construire de nouveaux automatismes qui libèrent de l’énergie disponible au cerveau pour pratiquer du calcul mental réfléchi plus difficile. L’aisance calculatoire est fortement corrélée à une partie automatisée riche. Un paramètre important, plus les automatismes sont construits avec du sens et même des sens et plus ces automatismes seront solides. Il est essentiel en calcul mental d’imbriquer compréhension et automatisation dans les apprentissages.

Des automatismes bien installés ?

Une partie automatisée peu développée sera source de blocages pour acquérir des connaissances ou des mécanismes dans d’autres domaines mathématiques. Par exemple, une bonne maîtrise en calcul mental, traduction d’un sens solide à la fois des nombres et des opérations, est une condition nécessaire pour véritablement rentrer dans les mécanismes plus complexes de la proportionnalité.

Sur des exemples simples, le passage à l’unité ou l’application de la célèbre règle de 3, se prêtent très bien à la gymnastique mentale. Notre culture éducative pousse vers un formalisme écrit avec des tableaux. Cette trace écrite ne devrait intervenir qu’à la suite d’un véritable processus de mentalisation.

Richesse du calcul mental direct

A vos neurones, prêt ? Partez ! Comment calculer mentalement 24×25 ?

Quelques secondes de recherche et vous découvrirez ci-dessous différents chemins pour calculer 24×25, à moins que ce résultat fasse partie de vos automatismes !

• 25 + 25 + 25 + ….. + 25 + 25 ou 24 + 24 + 24 + ….. + 24 + 24

Retour à la définition de la multiplication. Evidemment, ce n’est pas très performant !

• 10×25 + 10×25 + 4×25 ou 10×24 + 10×24 + 5×24

Utilisation classique de la distributivité de la multiplication sur l’addition combinée avec une propriété liée à notre système décimal, la règle des zéros avec les x10, x100, x1000…

Intérêt pédagogique également avec la décomposition des nombres.

• 20×25 + 4×25

On retrouve décomposition, distributivité ainsi que la connaissance d’un résultat automatisé indispensable pour cet exemple, 20×25 = 500

• 25×25 – 25

On retrouve décomposition, distributivité ainsi que la connaissance du résultat du carré de 25, 25×25 = 625, automatisme d’un niveau déjà intéressant.

• 24×24 + 24

On retrouve décomposition, distributivité ainsi que la connaissance du résultat du carré de 24, 24×24 = 576, automatisme d’un bon niveau.

Il est intéressant de souligner que pour les cinq stratégies précédentes, la sollicitation des automatismes est très différente. Les deux derniers calculs ne sont pas accessibles à tous car ils utilisent la connaissance de carrés tels que 25×25 = 625 et 24×24 = 576. Cela prouve l’importance de la partie automatisée. Les situations précédentes mettent en avant des décompositions additives et soustractives avec utilisation de la distributivité. Nos habitudes, notre culture numérique semblent nous pousser vers ce type de décompositions. Les stratégies qui suivent, sont centrées exclusivement sur la multiplication et la division.

• 25x4x6

Utilisation de la décomposition multiplicative de 24 = 4×6. La lecture dans l’ordre d’écriture de gauche à droite de 25x4x6, avec la connaissance automatisée de 25×4 = 100, donne presque sans effort l’apparition dans le cerveau de 600. Cette stratégie est très performante.

• 24x5x5

Utilisation de la décomposition multiplicative de 25 = 5×5. Moins performant que 25x4x6, mais tout de même intéressant.

• 100×24:4

Utilisation de la décomposition de 25 = 100:4. Cette stratégie est utilisée par ceux qui ont automatisé la vision de 25 comme étant le quart de 100. 25×24 se réduit ensuite à 2400:4.

Ces 10 chemins différents pour calculer 25×24 ne constituent pas une liste exhaustive des possibilités mais montrent la diversité et la richesse du calcul mental réfléchi. L’intérêt pédagogique est incontestable.

Pratiqué régulièrement à l’oral avec des exemples bien choisis et adaptés au public, le calcul mental réfléchi permet d’améliorer la fréquentation des nombres en leur donnant de l’épaisseur par de multiples décompositions. Il consolide les connaissances en calcul mental automatisé. Le travail sur le sens des opérations est permanent. Il rend notre relation aux nombres plus intime et peut donner l’envie de découvrir ce fabuleux univers de l’arithmétique…